Licencia para espiar (I)

El 1 de mayo de 1915 el barco de pasajeros Lusitania partía del muelle de Nueva York; probablemente ninguno de los casi 2000 pasajeros era consciente de la tragedia pero 6 días más tarde, el 7 de mayo, un submarino alemán torpedeaba el Lusitania causando 1198 víctimas. Entre éstas había más de 100 pasajeros norteamericanos y el presidente Wilson advirtió a Alemania de que otra acción similar implicaría la participación en la guerra de parte de los aliados, exigiendo además que en adelante los submarinos emergieran antes de atacar para evitar dirigir sus torpedos contra navíos civiles, lo cual restaba operatividad a los famosos U-Boat.

Meses más tarde, el ministro alemán de exteriores Arthur Zimmermann enviaba un telegrama a su embajador en EEUU para que a su vez lo remitiera a su homólogo en Mexico. En este telegrama informaba de que retomaban las operaciones submarinas sin ningún tipo de restricción y pedían la colaboración de México, en caso de que EEUU no se mantuviese neutral, a cambio de reconquistar Nuevo Mexico, Texas y Arizona.

El telegrama Zimmermann fue interceptado y descifrado por la habitación 40, que era como se conocía al departamento de criptografía del gobierno británico. La filtración y difusión del mensaje provocó que los americanos interviniesen en el conflicto debilitando las fuerzas alemanas y acelerando así el final de la I Guerra Mundial.

En junio de 1918 las tropa alemanas se disponían a entrar en París pero los franceses también consiguieron descifrar las claves que les permitieron interceptar los mensajes cifrados de los alemanes. La técnica para cifra los mensajes, similar a la descubierta por los chicos de la habitación 40, era un proceso de sustitución de letras y transposición. Vamos a diseñar el cifrado FDIEGO de la siguiente forma: se construye una tabla de 6x6, distribuyendo de forma aleatoria las 26 letras del abecedario y los 10 primeros números naturales de forma que cada letra y cada número vienen identificados por la fila y la columna de la celda correspondiente.

	F	D	I	E	G	O
F	M	J	H	Q	O	1
D	0	A	2	N	E	P
I	F	L	3	R	S	9
E	K	C	U	B	T	G
G	X	D	8	4	5	Z
O	V	7	W	I	Y	6

Por ejemplo la letra U se corresponde con la combinación EI y el número 9 sería IO. Si queremos cifrar el mensaje

convivamosenpaz

solo tenemos que ver a qué fila y columna corresponde cada letra y nos queda

EDFGDEOFOEOFDDFFFGIGDGDEDODDGO.

Una vez que hemos hecho la sustitución de las letras realizamos el proceso de transposición: elegimos una palabra clave, por ejemplo TADEO y vamos colocando las letras del mensaje cifrado en filas:

T	A	D	E	O
E	D	F	G	D
E	O	F	O	E
O	F	D	D	F
F	F	G	I	G
D	G	D	E	D
O	D	D	G	O

Una vez que hemos rellenado la tabla reordenamos las columnas, por ejemplo por orden alfabético.

A	D	E	O	T
D	F	G	D	E
O	F	O	E	E
F	D	D	F	O
F	G	I	G	F
G	D	E	D	D
D	D	G	O	O

y nos queda el mensaje definitivamente cifrado:

DFGDEOFOEEFDDFOFGIGFGDEDDDDGOO

Para recuperar el mensaje original solo tenemos que conocer la palabra que da el cifrado inicial y la palabra clave.

Años más tarde, en 1939, durante la II guerra mundial, uno de los más brillantes matemáticos, Alan Turing, profesor en Cambridge, se incorporó a un equipo de análisis criptográfico con el objetivo de descifrar los mensajes que el ejército nazi mandaba a diario usando la maquina ENIGMA, un aparato parecido a una maquina que podía cifrar un texto usando más de diez mil billones de combinaciones distintas. Turing y su equipo fueron capaces de construir otra máquina que llamaron COLOSSUS, y que fue el primer prototipo de ordenador moderno. Este episodio se relata en la película de Morten Tyldum The Imitation Game (descifrando enigma) de 2014, y fue decisivo para acelerar el final de la guerra y probablemente supuso algún cambio en el curso de la historia. De nuevo las matemáticas se ponían al servicio de la sociedad y de la libertad, aunque no siempre ha sido así.

Ya Voltaire hablaba de la tendencia del ser humano a guerrear, pero "menos mal que con los rifles no se matan las palabras" (Fito Cabrales y Manolo Chinato).

Números y formas: la extraña pareja.

O tal vez no tan extraña. Un poco como Walter Matthau y Jack Lemmon, se necesitan, se complementan...

Hay números que forman patrones y formas curiosas, como los números triangulares. Los números triangulares son:

y se pueden obtener formando triángulos como en la figura, añadiendo filas de guijarros verdes

También tenemos números cuadrados,

que no son más que los cuadrados perfectos. De forma gráfica los podemos obtener completando cuadrados, contando los guijarros verdes en un sentido:

o en otro:

Y luego tenemos números circulares, como el 0.

¿Nos ponemos trascendentes?

Pero solo desde un punto de vista numérico.

Hemos ido construyendo distintos conjuntos de  números, según las necesidades y las operaciones que queríamos hacer con ellos. Los números naturales, {0, 1, 2, 3...}, nos servían para contar y hacer algunas sumas. Pero no podíamos resolver ecuaciones como , porque no existe ningún número que sumado a 8 de 3,  de otra forma, no podemos realizar la operación 3-8, no al menos con números naturales; pero los matemáticos son gente con recursos y se inventaron los números negativos, que junto con los naturales forman el conjunto de los números enteros. Luego quisimos resolver ecuaciones como , y entonces los matemáticos nos resolvieron el problema inventando las fracciones, que junto con los enteros forman el conjunto de los números racionales, y después  nos empeñamos en seguir resolviendo ecuaciones y en complicarnos la vida y nos empeñamos en que la ecuación  tenía que tener solución. Entonces los matemáticos inventaron los números irracionales, para disgusto de Pitágoras, y ya tenemos todos los números reales.

Estos últimos, los irracionales, se pueden clasificar en números algebraicos y números trascendentes. Los números algebraicos son los números reales que son solución de una ecuación polinómica del tipo de la que tenemos abajo (ésta es de grado 3)

pero con la condición de que los coeficientes a, b, c y d sean números racionales, es decir números enteros o fracciones. Por ejemplo la solución de la ecuación   es , que es un número algebraico. También es algebraico el número de oro, del que hablábamos en la primera entrada del blog. Los números irracionales que no son solución de una ecuación de este tipo son números trascendentes. Puede parecer que la mayoría de los números irracionales son algebraicos, pero nada más lejos de la realidad. Nos pasamos la vida resolviendo ecuaciones algebraicas, cuando la mayoría de los números son trascendentes.

Quizás el número trascendente más famoso es , es un número familiar desde la escuela y lo obtenemos cuando dividimos la longitud de la circunferencia entre su diámetro.  es un número divertido que aparece donde menos lo espera uno, en la teoría de probabilidades, en la física... En general los números trascendentes son bastante simpáticos y se puede pasar un buen rato con ellos.

Otro número trascendente famoso es la constante de Euler más conocida como el número e, que tiene un valor aproximado de

 y  son los números trascendentes más populares y además hay una bonita relación entre ellos y otro curioso número que los matemáticos han inventado para poder seguir resolviendo ecuaciones raras , el número imaginario . Esta relación en forma de igualdad, , es una relación natural y trivial para un matemático.

Hay muchos números trascendentes, tantos como infinitos, pero algunos más populares que otros, por ejemplo la constante de Liouville, el número de Catalán... Si haces click aquí los encuentras.

Vamos a hacer un pequeño ejercicio de matemática financiera (muy de moda en estos días). Si vamos a nuestro banco el 1 de enero con 1€ y conseguimos que el director nos abra un depósito con un interés del 100% a un año, el 1 de enero del año siguiente tendremos 2€. Pero el director del banco es un tipo enrollao y me propone que al cabo de medio año vaya a recaudar mis intereses y los reinvierta en el depósito. Entonces yo voy el día 1 de julio, recojo mi medio euro de intereses (el 50%) y lo reinvierto, así durante el segundo semestre voy a tener invertido 1,5 euros y el interés que me tienen que dar es el 50% de esto, es decir 0,75€. Total que he hecho un buen negocio porque al final de año tengo 25 céntimos más.

Pero el director va más allá y me dice que por qué no recojo mis intereses cada trimestre. Como hay cuatro trimestres en el año me pueden dar cada vez el 25% de lo que tengo y reinvertirlo durante el trimestre siguiente. Un sencillo cálculo me da como capital final

Esto va bien, así que le propongo al director que por qué no me deja recoger los intereses cada mes, o mejor cada día, y así, aunque sea un poquito de interés, se va acumulando para el siguiente período. Pero ya la avaricia me ha poseído y quiero capitalizar mis intereses (que es como se llama esto en realidad) continuamente, cada segundo si puede ser, o cada medio segundo, o cada centésima de segundo, y yo que me creo muy listo sé que con esto voy a arruinar el banco y me voy a hacer el más rico del mundo, y hago al cuenta y resulta que lo más que voy a conseguir con mi depósito al 100% de interés y recogiendo intereses y reinvirtiendo continuamente es 2,7182818... euros, el máldito número trascendente.

Números de oro ( y de plata y de bronce...)

¿Qué rectángulo, de los 4 que aparecen aquí, te resulta más estético? Dicho de otra forma, cuál elegirías como tarjeta de visita o como formato para la invitación de tu próximo cumpleaños?

Es verdad que no hay nada escrito sobre gustos, pero la mayoría de la gente elige el rectángulo número 1. ¿Qué tiene de particular este rectángulo? Pues resulta que si dividimos el lado mayor entre el lado menor obtenemos 1,6180339887.... Visto así no parece un asunto muy interesante, el número nos puede parecer hasta vulgar y el rectángulo, pues uno más.

Pero hagamos un pequeño experimento: coloquemos dos tarjetas de crédito iguales o dos D.N.I. en la siguiente posición:

Vemos si prolongamos la diagonal rectángulo horizontal terminamos por encontrar el vértice superior derecho del rectángulo vertical. Resulta que el único rectángulo que tiene esta propiedad es el rectángulo que cumple la condición de que al dividir el lado mayor entre el lado menor el resultado es

y si coges la calculadora y haces la cuenta te da precisamente el número del que hablábamos antes, 1,618033....

Hemos usado la letra griega  para nombra a nuestro número protagonista de hoy, que es la inicial en griego del arquitecto más famoso de la Antigua Grecia, Fidias; no es una casualidad. Parece que quien decidió las dimensiones de las tarjetas de crédito, de nuestro D.N.I. o de algunos libros, en especial ediciones de bolsillo, tuvo el mismo capricho, o tenía algún tipo de inquietud por la estética matemática, pero es que además también tenían esta manía Leonardo da Vinci, Vitrubio, Le Corbusier o Dalí, y encima va la naturaleza y se empeña en que el número de oro aparezca por ejemplo en la disposición de las semillas del girasol, las espirales de las conchas de algunos moluscos o en la espiral que describe la vía láctea.

Este número se denomina número de oro o razón áurea, y el rectángulo del que hablábamos antes se conoce como rectángulo áureo.